Interpolacja jest to wyznaczenie takiej funkcji, która w jak najlepszym stopniu przedstawi inną stablicowaną nieznaną funkcje. Interpolacje stosuje się w głównej mierze do wyznaczenia wykresów funkcji określonych na dyskretnym zbiorze argumentów lub punktów będących wynikiem pomiarów i doświadczeń.

W interpolacja wielomianowej jak sama nazwa wskazuje szukaną funkcją jest wielomian uogólniony, będący kombinacją liniowo niezależnych funkcji. Znalezienie takiego wielomianu gwarantuje nam twierdzenie Weierstrassa. Ja będę rozpatrywał wielomian stopnia n, gdzie n - liczba punktów interpolacji. Założeniem tej interpolacji jest aby wielomian w punktach interpolacji (tzw. węzłach) przyjmował dokładnie takie same wartości.

Z założenia interpolacji, jak przedstawia rysunek szukany wielomian:

,

Układ ten posiada dokładnie tylko jedno rozwiązanie, które przyjmujemy jako współczynniki szukanego wielomianu interpolacyjnego. Niestety wyznaczenie rozwiązania tego układu nie jest zadaniem łatwym ze względu na jego niekorzystne uwarunkowanie i kumulacje błędów. W praktyce jednak nie rozwiązuje się tego układu, lecz oblicza się od razu w wybranych punktach wartości tego wielomianu. W tym celu stosuje się różne metody interpolacji np. Lagrange'a, Newtona, Czebyszewa czy metodę funkcji sklejanych.

W interpolacji Lagrange'a funkcjami bazowymi są jednomiany xⁱ, wielomian interpolacyjny jest wielomianem algebraicznym. Zamiast rozwiązywać powyższy układ równań stosuje się tzw. wielomian interpolacyjny Lagrange'a. Pozwala on na wyznaczenie małym nakładem pracy wyznaczyć wartości tego wielomianu (bez znajomości jego współczynników) w dowolnym punkcie przedziału <a, b>. W praktyce przedział ten stanowią wartości <x₀, x_n>. Wielomian Lagrange'a ma następującą postać:

Poniższa funkcja korzystając z powyższej zależności oblicza wartości szukanego wielomianu w dowolnym jego punkcie. Tablice x i y to tablice jednowymiarowe przechowujące w pamięci wszystkie węzły.

type
Tabl = array [1..max] of real; //max to stała wg potrzeb programu

function w(dx: real;x,y: Tabl):real; //dx - punkt do obliczeń
var i,j: integer;   m,l,dy: real; //odpowiednio wartość mianownika i licznika, dy - zmienna pomocnicza
begin
//n - liczba węzłów przyjmuję że jest znana
  dy:=0;
  for i:=1 to n do
  begin
    l:=1; m:=1;
    for j:=1 to n do
    if i<>j then
    begin
      m:=m*(x[i]-x[j]);
      l:=l*(dx-x[j]);
    end;
    dy:=dy+y[i]*l/m;
  end;
  w:=dy;//zwracamy obliczoną wartość wielomianu w(dx)=dy
end;


W interpolacji Newtona jako bazę funkcji wielomianu uogólnionego wykorzystuje się ciąg wielomianów Newtona:

Wyznaczanie współczynników a_i jest lepiej uwarunkowane niż w przypadku, rozwiązywania układu równań. Pomiędzy wielomianami interpolacyjnymi, tej samej funkcji: N_n-1 i N_n, rozpiętymi na węzłach x₀, ..., x_n, zachodzi związek:

Współczynniki a_i wielomianu interpolacyjnego Newtona zdefiniowane w powyższy sposób nazywane są ilorazami różnicowymi, które można przedstawić w następującej postaci:

Współczynniki wielomianu interpolacyjnego Newtona są następujące:

Poniżej znajduje się pętla obliczająca współczynniki wielomianu, oraz jego wartości w punktach x₀, ..., x_n.

for i:=1 to n do
for j:=n downto i do
y[j]:=(y[j]-y[j-1])/(x[j]-x[j-i]);
//wartosći y[j] (j=0,..,n) stanowią współczynniki wielomianu

//dy - wartość wielomianu interpolacyjnego Newtona w punkcie xo
dy:=y[0];
p:=1;
for i:=1 to n do
begin
  p:=p*(xo-x[i-1]);
  dy:=dy+p*y[i];
end;


W dziale Programy znajduje się program Interpolacja >> wykorzystujący metodę Lagrange'a i Newtona oraz inne do interpolacji na zadanym zbiorze punktów.

Licznik zamieszczony 07.12.2002